1 傅里叶变化的诞生

傅立叶（Jean Baptiste Joseph Fourier）是一位法国数学家和物理学家，他对热传递很感兴趣。1807年他在法国科学学会上发表了一篇论文——运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日和拉普拉斯，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作。但幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及。法国大革命时，他为了逃避审判一直在四处躲藏。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来，也让我们得以一窥这天才的发现。

2 什么是傅里叶变换

傅立叶变换是什么？简而言之就是所有的波都可以用多个正弦波叠加表示。可以看出，傅立叶变换提供了一种从时域到频率域的变换规则。

这里的时域指的是时间域。它的一个变量是时间，另一个变量是信号在不同时刻的取值。频域则是指频率域，一个变量是频率，另一个变量是信号在相应频率分量的幅度，也就是通常说的频谱图。时域是真实世界唯一存在的域。频域不是真实存在的，而是一个数学构造，频率是遵循特定规则的数学范畴。我们虽然不能看见频域，但是我们却能直观地感受到频域，声音的高低变化就是音频在频域上的变化。

傅立叶变换的公式和推导都可以在教材中轻易查找到，这里就不多赘述了。

理论证明，无论是否具有周期性，无论是否与正弦信号具有联系，时域上的信号都可已通过傅立叶变换而得到频域的映射。比如方波虽然看起来和正弦波并无相关的可能，但它确实也可以分解成正弦波——只不过这次我们需要更多——理论上想要将方波分解需要无数列正弦波。随着我们加入越来越多的正弦波，叠加出的波形就越来越接近方波。我们可以观察到，最开始几个较低频率的正弦波逐渐叠加时波形变化较大，但在叠加到中频时，波形基本稳定，后来的高频成分叠加对于波形影响较小，主要是添加细节，使其更加光滑。这一特性在我们生活中的体现是，高保真音频较普通的Mp3音频含有更多高频和低频部分，但听上去这两种音频几乎是一样的。

傅立叶变换连接时域和频域的特性是具有里程碑意义的。它是一个非常强大的数学工具，被广泛许多领域的信号处理及分析，包括电路设计，移动网络信号，磁共振成像（MRI）和量子物理。

3 精彩的频域世界

傅立叶变换早已被广泛运用在了信号的处理和分析中，但当我们离开科学的领域，将相似的思维用来审视我们所处的世界和我们自己的人生的时候，一个我们从前无法想象的频域世界就会呈现在我们的眼前。

毫无疑问，我们所能感知到的世界是以时域的形式存在的。从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变的。但是傅立叶变换指出，任何信号都可以由多个拥有不同特征（频率和幅值）的正弦波合成。我们是否可以认为，我们所处的时空只是众多正弦波中的一列，而更多的平行时空则是其它的正弦波，所有正弦波的合成才是真正的完整的时空。在频域的世界里，时间的概念将不复存在（或者说是确定的，就像一把尺子只要有头就会有尾一样，头和尾是同时存在且确定的），能够感知的，是事物存在可能性的高低（假设频域中值较高的分量是高可能性的分量，值较低的分量是可能性较低的分量，可能性越高的事物感知越强）。

我们是不是都有着着自己的宿命？我们生活的时空是不是那个“可能性”较高的时空呢？我想，这是我们能从傅立叶变换中汲取到的一点思考。

参考文献：

[1]李文林著.数学史概论.第二版，北京：高等教育出版社，2002，255-256.

[2]胡作玄著.邓明立著.20世纪数学思想.山东教育出版社，1999，25.

[3]胡作玄著.近代数学史.山东教育出版社，2006，265-267.

[4]吴文俊著.世界著名数学家传记（下集）.北京：科学出版社，1995，958.

文本：李香霖 

排版：余书墨